本篇笔记讲解矩阵的幂运算和矩阵的转置，其中矩阵进行幂运算的前提是矩阵为方阵，矩阵幂运算的两条性质与数的幂运算规则类似；矩阵转置的定义与行列式转置类似，但要注意由于矩阵的行数和列数不同，所以转置之后行数和列数变换。
1 矩阵的幂
1.1 矩阵幂的定义
如果
A
A
A是方阵，矩阵的幂定义如下：
A
k
=
A
A
.
.
.
A
⏟
k
A^k=\underbrace{AA...A}_k
Ak=k
AA...A
特别地：我们规定：
A
0
=
E
A^0=E
A0=E。
两条性质： ①
A
k
1
A
k
2
=
A
k
1
+
k
2
A^{k_1}A^{k_2}=A^{k_1+k_2}
Ak1Ak2=Ak1+k2 验证：
A
k
1
A
k
2
=
A
A
.
.
.
A
⏟
k
1
A
A
.
.
.
A
⏟
k
2
=
A
k
1
+
k
2
A^{k_1}A^{k_2}=\underbrace{AA...A}_{k_1}\underbrace{AA...A}_{k_2}=A^{k_1+k_2}
Ak1Ak2=k1
AA...Ak2
AA...A=Ak1+k2
②
(
A
k
1
)
k
2
=
A
k
1
k
2
(A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2}
(Ak1)k2=Ak1k2 验证：
(
A
k
1
)
k
2
=
A
k
1
A
k
1
.
.
.
A
k
1
⏟
k
2
=
A
A
.
.
.
A
⏟
k
1
A
A
.
.
.
A
⏟
k
1
.
.
.
A
A
.
.
.
A
⏟
k
1
⏟
k
2
=
A
k
1
k
2
(A^{k_1})^{k_2}=\underbrace{A^{k_1}A^{k_1}...A^{k_1}}_{k_2}=\underbrace{\underbrace{AA...A}_{k_1}\underbrace{AA...A}_{k_1}...\underbrace{AA...A}_{k_1}}_{k_2}=A^{k_1k_2}
(Ak1)k2=k2
Ak1Ak1...Ak1=k2
k1
AA...Ak1
AA...A...k1
AA...A=Ak1k2
因为矩阵相乘不满足交换律，一般情况下：
(
A
B
)
k
≠
A
k
B
k
(AB)^k{\neq}A^kB^k
(AB)k=AkBk
举例：
(
A
B
)
2
≠
A
2
B
2
(AB)^2{\neq}A^2B^2
(AB)2=A2B2 因为：
(
A
B
)
2
=
A
B
A
B
(AB)^2=ABAB
(AB)2=ABAB 而：
A
2
B
2
=
A
A
B
B
A^2B^2=AABB
A2B2=AABB 很显然：中间的
A
B
AB
AB一般是
≠
B
A
≠BA
=BA的。
思考1：
(
A
+
B
)
2
(A+B)^2
(A+B)2与
A
2
+
2
A
B
+
B
2
A^2+2AB+B^2
A2+2AB+B2是否相等？ 答案是否定的。 因为：
(
A
+
B
)
2
=
(
A
+
B
)
(
A
+
B
)
(A+B)^2=(A+B)(A+B)
(A+B)2=(A+B)(A+B)，根据矩阵相乘的分配律：
=
(
A
+
B
)
A
+
(
A
+
B
)
B
=(A+B)A+(A+B)B
=(A+B)A+(A+B)B
=
A
2
+
B
A
+
A
B
+
B
2
=A^2+BA+AB+B^2
=A2+BA+AB+B2
很显然：
2
A
B
2AB
2AB一般与
B
A
+
A
B
BA+AB
BA+AB是不相等的。 所以，同样的，
(
A
−
B
)
2
(A-B)^2
(A−B)2与
A
2
−
2
A
B
+
B
2
A^2-2AB+B^2
A2−2AB+B2一般也是不相等的。
思考2：
(
A
+
E
)
2
(A+E)^2
(A+E)2与
A
2
+
2
A
E
+
E
2
A^2+2AE+E^2
A2+2AE+E2是否相等？ 答案是肯定的。 因为：
(
A
+
E
)
2
=
(
A
+
E
)
(
A
+
E
)
(A+E)^2=(A+E)(A+E)
(A+E)2=(A+E)(A+E)，根据矩阵相乘的分配律：
=
(
A
+
E
)
A
+
(
A
+
E
)
E
=(A+E)A+(A+E)E
=(A+E)A+(A+E)E
=
A
2
+
E
A
+
A
E
+
E
2
=A^2+EA+AE+E^2
=A2+EA+AE+E2 又因为：
E
A
=
A
，
A
E
=
A
EA=A，AE=A
EA=A，AE=A 所以：
=
A
2
+
2
A
+
E
2
=A^2+2A+E^2
=A2+2A+E2 故：
(
A
+
E
)
2
=
A
2
+
2
A
E
+
E
2
(A+E)^2=A^2+2AE+E^2
(A+E)2=A2+2AE+E2 注意
E
2
E^2
E2就等于
E
E
E，
E
n
E^n
En也等于
E
E
E。
同样的，
(
A
−
E
)
2
(A-E)^2
(A−E)2与
A
2
−
2
A
E
+
E
2
A^2-2AE+E^2
A2−2AE+E2一般也是相等的。
1.2 矩阵相乘练习
该部分内容请参考上一篇博客线性代数学习笔记（九）——矩阵运算（一）
例8：已知矩阵
A
=
[
1
1
1
]
A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}
A=⎣⎡111⎦⎤，矩阵
B
=
[
1
2
3
]
B=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}
B=[123]，求
A
B
AB
AB、
B
A
BA
BA、
(
A
B
)
2
(AB)^2
(AB)2和
(
A
B
)
10
(AB)^{10}
(AB)10。
解： ①
A
B
=
[
1
1
1
]
3
×
1
[
1
2
3
]
1
×
3
AB=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}_{3×1}\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}_{1×3}
AB=⎣⎡111⎦⎤3×1[123]1×3
=
[
1
2
3
1
2
3
1
2
3
]
3
×
3
=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}_{3×3}
=⎣⎡111222333⎦⎤3×3
② 同理：
B
A
=
[
1
2
3
]
1
×
3
[
1
1
1
]
3
×
1
=
6
BA=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}_{1×3}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}_{3×1}=6
BA=[123]1×3⎣⎡111⎦⎤3×1=6
③
(
A
B
)
2
=
A
B
A
B
(AB)^2=ABAB
(AB)2=ABAB
=
[
1
2
3
1
2
3
1
2
3
]
[
1
2
3
1
2
3
1
2
3
]
=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}
=⎣⎡111222333⎦⎤⎣⎡111222333⎦⎤
=
[
6
12
18
6
12
18
6
12
18
]
=\begin{bmatrix}6&12&18\\6&12&18\\6&12&18\end{bmatrix}
=⎣⎡666121212181818⎦⎤
另外一种思路：
(
A
B
)
2
=
A
B
A
‾
B
(AB)^2=A\underline{BA}B
(AB)2=ABAB 先计算中间的
B
A
BA
BA，由②可知其值为6，则原式：
=
6
A
B
=6AB
=6AB
=
6
[
1
2
3
1
2
3
1
2
3
]
=6\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}
=6⎣⎡111222333⎦⎤
=
[
6
12
18
6
12
18
6
12
18
]
=\begin{bmatrix}6&12&18\\6&12&18\\6&12&18\end{bmatrix}
=⎣⎡666121212181818⎦⎤
④
(
A
B
)
10
=
A
B
A
‾
B
A
‾
.
.
.
B
A
‾
⏟
9
B
(AB)^{10}=A\underbrace{\underline{BA}\underline{BA}...\underline{BA}}_9B
(AB)10=A9
BABA...BAB
=
6
9
A
B
=6^9AB
=69AB
=
6
9
[
1
2
3
1
2
3
1
2
3
]
=6^9\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}
=69⎣⎡111222333⎦⎤
注意：一般求矩阵高次幂的运算都是通过一定技巧化简的。
例9：略
2 矩阵的转置
2.1 矩阵转置的定义
矩阵的转置和行列式的转置类似，即将原来的行做成列，将原来的列做成行。
A
=
[
1
2
3
1
1
1
]
2
×
3
A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&1&1\end{bmatrix}_{2×3}
A=[112131]2×3
A
T
=
[
1
1
2
1
3
1
]
3
×
2
A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&1\\3&1\end{bmatrix}_{3×2}
AT=⎣⎡123111⎦⎤3×2
与行列式一样，
A
A
A的转置表示为
A
T
A^T
AT或
A
’
A^’
A’。 如果
A
A
A为
m
×
n
m×n
m×n的矩阵，则
A
T
A^T
AT为
n
×
m
n×m
n×m的矩阵。
(
A
T
)
T
=
[
1
2
3
1
1
1
]
2
×
3
(A^T)^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&1&1\end{bmatrix}_{2×3}
(AT)T=[112131]2×3
2.2 矩阵转置的性质
★ ①
(
A
T
)
T
=
A
(A^T)^T=A
(AT)T=A ②
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
(A+B)^T=A^T+B^T
(A+B)T=AT+BT ③
(
k
A
)
T
=
k
A
T
(kA)^T=kA^T
(kA)T=kAT ★ ④
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
(AB)^T=B^TA^T
(AB)T=BTAT
注意：不是
(
A
B
)
T
=
A
T
B
T
(AB)^T=A^TB^T
(AB)T=ATBT，例如
A
3
×
2
A_{3×2}
A3×2、
B
2
×
5
B_{2×5}
B2×5，那么
A
2
×
3
T
A^T_{2×3}
A2×3T和
B
5
×
2
T
B^T_{5×2}
B5×2T中间不等，所以不能相乘；而
B
5
×
2
T
B^T_{5×2}
B5×2T和
A
2
×
3
T
A^T_{2×3}
A2×3T中间相等，可以相乘。
性质④推广：
(
A
1
A
2
A
3
A
4
)
T
=
A
4
T
A
3
T
A
2
T
A
1
T
(A_1A_2A_3A_4)^T=A_4^TA_3^TA_2^TA_1^T
(A1A2A3A4)T=A4TA3TA2TA1T 同样，性质②也有类似推广：
(
A
+
B
+
C
)
T
=
A
T
+
B
T
+
C
T
(A+B+C)^T=A^T+B^T+C^T
(A+B+C)T=AT+BT+CT
3 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算（二）